ഈ പരമ്പരയിലെ മുൻപത്തെ ചർച്ചയിൽ, സത്താധിഷ്ഠമായ ബോധ്യങ്ങൾ ഒരു ആകർഷണശക്തിയായി [Attraction] വർത്തിക്കുന്ന രീതിയാണ് നാം കണ്ടത്. ലൈബ്നിറ്റ്സിനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ലാളിത്യത്തോടുള്ള മെറ്റാഫിസിക്കൽ പ്രതിബദ്ധത അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് മുൻപേ നിലനിന്നിരുന്ന ഒന്നാണ്. ആ ദർശനത്തിന്റെ ഔദ്യോഗികമായ ആവിഷ്കാരമെന്ന നിലയിലാണ് അദ്ദേഹം ബൈനറി ഗണിതത്തെ സ്വീകരിച്ചത്. അവിടെ മെറ്റാഫിസിക്സിനെയാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം പിന്തുടർന്നത്.
എന്നാൽ ഇ ലേഖനം പരിശോധിക്കുന്ന ക്രമം വിപരീതമാണ്. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രമാണ് ആദ്യം വരുന്നത്. അത് നിലവിലുള്ള വിചാരമണ്ഡലത്തിൽ വലിയൊരു അസ്ഥിരത സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ആ അസ്ഥിരതയെ മറികടന്ന് ഒരു സുസ്ഥിര സിദ്ധാന്തമായി വളരണമെങ്കിൽ സത്താധിഷ്ഠമായ ഒരു ഉറച്ച തീരുമാനമെടുക്കാൻ [Ontological decision] ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ നിർബന്ധിതനാകുന്നു. ജോർജ്ജ് കാന്റർ ഒരു മെറ്റാഫിസിക്കൽ വിപ്ലവകാരിയായിട്ടല്ല തന്റെ യാത്ര ആരംഭിച്ചത്. റിയൽ നമ്പറുകളുടെ ഘടനയെയും ട്രിഗണോമെട്രിക് സീരീസുകളെയും കുറിച്ച് പഠിക്കുന്ന ഒരു അനലിസ്റ്റ് മാത്രമായിരുന്നു അദ്ദേഹം. കൺവെർജൻസ്, കണ്ടിന്യൂയിറ്റി എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള അന്വേഷണങ്ങൾക്കിടയിൽ പോയിന്റുകളുടെ സെറ്റുകളെ കൂടുതൽ സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിച്ചപ്പോഴാണ് അദ്ദേഹം അപ്രതീക്ഷിതമായ ഒരു നിഗമനത്തിൽ എത്തിയത്: ഇൻഫിനിറ്റ് ശേഖരങ്ങളെ പൂർണ്ണമായ ഏകകങ്ങളായി കണ്ട് പരസ്പരം താരതമ്യം ചെയ്യാൻ സാധിക്കും. ഈ ഘട്ടത്തിലാണ് സത്താധിഷ്ഠമായ ആ വിച്ഛേദം ആരംഭിക്കുന്നത്.
കാന്റർക്കു മുൻപുള്ള ഇൻഫിനിറ്റി
ഫിലോസഫിയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഇൻഫിനിറ്റി എന്നത് കാലങ്ങളായി വലിയൊരു സമസ്യയായിരുന്നു. സെനോയുടെ പാരഡോക്സുകൾ [Zeno’s paradoxes] ചലനത്തിലും വിഭജനത്തിലും ഇൻഫിനിറ്റി വരുത്തുന്ന അസ്ഥിരതയെ തുറന്നുകാട്ടി. ഇതിന് മറുപടിയായി അരിസ്റ്റോട്ടിൽ കൊണ്ടുവന്ന ഒരു വേർതിരിവ് നൂറ്റാണ്ടുകളോളം പാശ്ചാത്യ ചിന്താഗതിയെ സ്വാധീനിച്ചു. ഇൻഫിനിറ്റി എന്നത് സഭാവ്യമായി [Potentially] മാത്രമേ നിലനിൽക്കുന്നുള്ളൂ എന്നായിരുന്നു അദ്ദേഹത്തിന്റെ വാദം. ഒരാൾക്ക് എപ്പോഴും ഒന്നു കൂടി കൂട്ടിച്ചേർക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ എപ്പോഴും കൂടുതൽ വിഭജിക്കാം. എന്നാൽ ഇൻഫിനിറ്റി എന്നത് ഒരിക്കലും പൂർണ്ണമായ ഒരു ഏകകമായി [Completed totality] നിലനിൽക്കുന്നില്ല. പിൽക്കാലത്തെ ക്രിസ്തീയ ദൈവശാസ്ത്രം യഥാർത്ഥമായ ആക്ച്വൽ ഇൻഫിനിറ്റിയെ ദൈവത്തിന് മാത്രമായി പരിമിതപ്പെടുത്തി. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും ഇതേ നിയന്ത്രണമാണ് പിന്തുടർന്നത്. കാൽക്കുലസിൽ ഇൻഫിനിറ്റി ഉപയോഗിക്കുമ്പോഴും അവർ അതിനെ ഒരു ലിമിറ്റ് സങ്കല്പമായിട്ടാണ് കണ്ടത്. അതായത്, ഒരു നിശ്ചിത അതിർത്തിയെ സമീപിക്കുന്ന അവസാനിക്കാത്ത പ്രക്രിയ എന്നല്ലാതെ, ഒരിക്കലും അതൊരു പൂർണ്ണമായ അളവല്ല. ഗൗസ് [Gauss] ഈ നിലപാട് വളരെ വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്: ഇൻഫിനിറ്റി എന്നത് ലിമിറ്റുകളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാനുള്ള ഒരു രീതി മാത്രമാണ്, അതൊരിക്കലും പൂർണ്ണമായ ഒരു ക്വാണ്ടിറ്റിയല്ല. ഈ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം സുരക്ഷിതമായിരുന്നു. ഇൻഫിനിറ്റ് പ്രക്രിയകൾ അവിടെ അനുവദനീയമായിരുന്നു, എന്നാൽ ഇൻഫിനിറ്റ് പൂർണ്ണതകൾ [Infinite wholes] അസ്വീകാര്യമായിരുന്നു. കാന്റർ തകർത്തത് ഈ പരമ്പരാഗത ധാരണയെയാണ്.
ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ വിച്ഛേദം
കാന്ററുടെ അന്വേഷണം ആരംഭിച്ചത് ലളിതമായ ഒരു നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്നാണ്. രണ്ട് സെറ്റുകളിലെ മൂലകങ്ങളെ പരസ്പരം ഒന്നൊന്നിനോട് എന്ന ക്രമത്തിൽ [One-to-one correspondence] ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ അവയുടെ വലിപ്പം തുല്യമാണെന്ന് അദ്ദേഹം കരുതി. പരിമിതമായ സെറ്റുകളിൽ ഇത് വളരെ വ്യക്തമാണ്. എന്നാൽ ഇൻഫിനിറ്റ് സെറ്റുകളിൽ ഈ നിരീക്ഷണം വിപ്ലവകരമായ മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തി. എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ [Natural numbers] നിർവ്വചനപ്രകാരം എണ്ണാവുന്നവയാണ് [Countable]. ഇന്റജറുകളെയും [Integers] ഇതേപോലെ ഒരു നിശ്ചിത ക്രമത്തിൽ അടുക്കാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ അവയും എണ്ണാവുന്നവയാണെന്ന് വരുന്നു:
$$0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots$$
കൂടുതൽ ഗൗരവകരമായ കാര്യം, ഭിന്നസംഖ്യകളെയും [Rational numbers] ഇത്തരത്തിൽ ക്രമീകരിക്കാൻ സാധിക്കും എന്നതാണ്. സംഖ്യാരേഖയിൽ അവ തിങ്ങിനിറഞ്ഞു കിടക്കുകയാണെങ്കിലും, അംശവും ഛേദവും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ദ്വിമാന ഗ്രിഡ് നിർമ്മിച്ച് അവയെ ഡയഗണലായി പട്ടികപ്പെടുത്താം. ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയും ഒടുവിൽ ആ നിശ്ചിത പട്ടികയിൽ ഇടംപിടിക്കുന്നു. ഇൻഫിനിറ്റി അതുവരെ ഒരേപോലെയാണ് പെരുമാറുന്നത്.
എന്നാൽ റിയൽ നമ്പറുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഇതേ രീതി പരീക്ഷിക്കുമ്പോഴാണ് വിള്ളൽ വീഴുന്നത്. ഒരു തർക്കത്തിനായി, $(0,1)$ എന്ന ഇന്റർവലിലെ റിയൽ നമ്പറുകളെ ഇത്തരത്തിൽ പട്ടികപ്പെടുത്താം എന്ന് കരുതുക:
$$r_1, r_2, r_3, \dots$$
ഓരോ സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു ഡെസിമൽ വികാസമുണ്ട്:
$$r_1 = 0.a_{11}a_{12}a_{13}\dots$$
$$r_2 = 0.a_{21}a_{22}a_{23}\dots$$
$$r_3 = 0.a_{31}a_{32}a_{33}\dots$$
കാന്ററുടെ ഡയഗണൽ നിർമ്മാണം ഇപ്രകാരമാണ്. $s = 0.b_1b_2b_3\dots$ എന്ന പുതിയൊരു സംഖ്യ നിർമ്മിക്കുക. ഇതിലെ ഓരോ അക്കവും ($b_n$) ഡയഗണലിലെ അക്കമായ $a_{nn}$-ൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കണം. ഉദാഹരണത്തിന്:
$$b_n = 1 \text{ if } a_{nn} \neq 1,$$
$$b_n = 2 \text{ if } a_{nn} = 1.$$
ഇവിടെ $s$ എന്നത് ആദ്യത്തെ സ്ഥാനത്ത് $r_1$-ൽ നിന്നും രണ്ടാമത്തെ സ്ഥാനത്ത് $r_2$-ൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമാണ്. പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ, $n$-ാം സ്ഥാനത്ത് അത് $r_n$-ൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. എല്ലാം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എന്ന് കരുതിയ പട്ടിക ഇവിടെ പരാജയപ്പെടുന്നു. റിയൽ നമ്പറുകൾ എണ്ണാൻ കഴിയാത്തവയാണ് [Uncountable]. ആധുനിക ചിഹ്നനത്തിൽ:
$$|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|$$
ഇൻഫിനിറ്റി എന്നത് ഏകരൂപത്തിലുള്ള ഒരു കേവല അളവല്ലെന്നും, മറിച്ച് ഒന്നിനേക്കാൾ വലുതായ വിവിധ ഇൻഫിനിറ്റി തലങ്ങൾ നിലനിൽക്കുന്നുണ്ടെന്നുമാണ് ഇതിലൂടെ വ്യക്തമാകുന്നത്. കാന്റർ ഈ ഫലത്തെ സാമാന്യവൽക്കരിച്ചു. ഏതൊരു സെറ്റിനും ($S$) അതിന്റെ പവർ സെറ്റ് [Power set], $\mathcal{P}(S)$, ഉണ്ടായിരിക്കും. അതിൽ നിന്ന് കാന്റർ ഇപ്രകാരം തെളിയിച്ചു:
$$|S| < |\mathcal{P}(S)|$$
എണ്ണൽ സംഖ്യകളിൽ ഇത് പ്രയോഗിച്ചാൽ:
$$|\mathcal{P}(\mathbb{N})| = 2^{\aleph_0}$$
ഇത് വീണ്ടും ആവർത്തിച്ചാൽ:
$$|\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))| = 2^{2^{\aleph_0}}$$
ഈ വർദ്ധനവ് സ്ഫോടനാത്മകമാണ്. ഇൻഫിനിറ്റി ഒരൊറ്റ അളവിൽ അവസാനിക്കുന്നില്ല, മറിച്ച് അത് അവസാനിക്കാത്ത ഒരു ശ്രേണിയായി [Hierarchy] വികസിക്കുന്നു.
ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഇൻഫിനിറ്റിയെ കേവലം ഒരു പ്രക്രിയ ആയി കാണാൻ കഴിയില്ല. ഡയഗണൽ ആർഗ്യുമെന്റ് മുന്നോട്ട് പോകണമെങ്കിൽ എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ ഒരു പൂർണ്ണമായ ഏകകമാണെന്ന് [Completed totality] ഉറപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതുപോലെ റിയൽ ഇന്റർവൽ $(0,1)$ ഒരു പൂർണ്ണമായ ഏകകമാണെന്നും കരുതണം. ഇവിടെ ഇൻഫിനിറ്റി ഒരു ‘വസ്തു’വായി [Object] പരിണമിക്കുന്നു.
എന്തുകൊണ്ട് വിച്ഛേദം?
ഇവിടെ നമുക്ക് നിന്നേക്ക് ചിന്തിക്കാം. ഡയഗണൽ ആർഗ്യുമെന്റ് കേവലം എണ്ണൽ പ്രക്രിയ തുടരാമെന്ന് മാത്രമാണ് കാണിക്കുന്നതെന്നും ഇൻഫിനിറ്റി പൊട്ടൻഷ്യൽ ആയി അവശേഷിക്കുന്നു എന്നും വേണമെങ്കിൽ വാദിക്കാം. എന്നാൽ ആ വാദം ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രസക്തി തന്നെ ഇല്ലാതാക്കുന്നു.
റിയൽ നമ്പറുകളെ ഒരു പൂർണ്ണമായ ഏകകമായി പരിഗണിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഡയഗണൽ നിർമ്മാണം ആ ഏകകത്തിലെ പുതിയൊരു അംഗത്തെയല്ല കണ്ടെത്തുന്നത്; മറിച്ച് അവസാനിക്കാത്ത ഒരു പ്രക്രിയ നീട്ടിക്കൊണ്ടുപോകാനുള്ള ഒരു നിയമത്തെ മാത്രമാണ് വെളുപ്പെടുത്തുന്നത്. അപ്പോൾ $|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|$ എന്ന വാദം അളവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള [Magnitudes] ഒന്നല്ലാതായി മാറുകയും കേവലം പ്രക്രിയകളെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രസ്താവനയായി ചുരുക്കുകയും ചെയ്യും.
കാന്ററുടെ നിഗമനം നിലനിൽക്കണമെങ്കിൽ രണ്ട് മണ്ഡലങ്ങളെയും പൂർണ്ണമായ ഏകകങ്ങളായി കാണേണ്ടതുണ്ട്. ഡയഗണൽ സംഖ്യ കേവലം ഒരു പ്രക്രിയയിലെ ഘട്ടമല്ല; അത് ഒരു നിശ്ചിത സെറ്റിലെ അംഗമാണ്. ആ സെറ്റ് മറ്റൊരു നിശ്ചിത സെറ്റിനേക്കാൾ വലുതുമാണ്. ആക്ച്വൽ ഇൻഫിനിറ്റിയെ അംഗീകരിച്ചില്ലെങ്കിൽ ഈ അധികാരശ്രേണി തകരുകയും പഴയ പൊട്ടൻഷ്യൽ ഇൻഫിനിറ്റിയിലേക്ക് തന്നെ മടങ്ങേണ്ടി വരികയും ചെയ്യും. ഗണിതശാസ്ത്രം സ്ഥാപിക്കുന്ന ഈ താരതമ്യം അപ്പോൾ അർത്ഥശൂന്യമാകും. അതിനാൽ ഈ വിച്ഛേദം ഘടനാപരമാണ്. ഒന്നുകിൽ ഇൻഫിനിറ്റ് പൂർണ്ണതകളെ വസ്തുക്കളായി അംഗീകരിക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ കാന്ററുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ വെറും നടപടിക്രമങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വാദങ്ങളായി ദുർബലപ്പെടുക. കാന്റർ തിരഞ്ഞെടുത്തത് ആദ്യത്തെ വഴിയാണ്.
കാർഡിനാലിറ്റിയും ഓർഡിനാലിറ്റിയും
ഇൻഫിനിറ്റിയിൽ വലിപ്പവും ക്രമവും രണ്ടായി പിരിയുന്നു എന്ന് കാണുമ്പോൾ ഈ വിച്ഛേദം കൂടുതൽ ആഴമുള്ളതാകുന്നു. പരിമിതമായ ഗണിതത്തിൽ ‘3’ എന്ന സംഖ്യ വലിപ്പത്തെയും സ്ഥാനത്തെയും ഒരേപോലെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇൻഫിനിറ്റിയിൽ അവ രണ്ടും രണ്ടായി മാറുന്നു. കാർഡിനലുകൾ വലിപ്പത്തെ അളക്കുന്നു. എണ്ണൽ സംഖ്യകൾക്ക് $\aleph_0$ എന്ന കാർഡിനാലിറ്റിയും, കണ്ടിന്യൂവത്തിന് $2^{\aleph_0}$ എന്ന കാർഡിനാലിറ്റിയും ആണുള്ളത്. ഓർഡിനലുകൾ [Ordinals] ക്രമത്തിന്റെ ഘടനയെയാണ് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നത്. സ്വാഭാവിക ക്രമത്തിലുള്ള എണ്ണൽ സംഖ്യകൾക്ക് $\omega$ എന്ന ക്രമമാണുള്ളത്. എല്ലാ എണ്ണൽ സംഖ്യകൾക്കും ശേഷം പുതിയൊരു അംഗം കൂടി ചേർത്താൽ നമുക്ക് $\omega + 1$ ലഭിക്കുന്നു. എന്നാൽ അവയ്ക്ക് മുൻപിലാണ് അംഗം ചേർക്കുന്നതെങ്കിൽ ക്രമത്തിൽ മാറ്റമുണ്ടാകില്ല. അതിനാൽ:
$$1 + \omega = \omega$$
എന്നാൽ,
$$\omega + 1 \neq \omega$$
ഇത് ഇപ്രകാരം തുടരാം: $\omega + 2, \omega \cdot 2, \omega^2$ എന്നിങ്ങനെ. ഇവയ്ക്കെല്ലാം ഒരേ കാർഡിനാലിറ്റിയായ $\aleph_0$ ആണുള്ളതെങ്കിലും അവ ഘടനാപരമായി വ്യത്യസ്തമാണ്. ഇൻഫിനിറ്റി എന്നത് പല അടരുകളായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു. അവയെ കാർഡിനാലിറ്റി, ഓർഡിനാലിറ്റി, ട്രാൻസ്ഫൈനൈറ്റ് [Transfinite] അളവുകൾ എന്നിങ്ങനെ പല പേരുകളിൽ വിളിക്കേണ്ടി വരുന്നു. അവ്യക്തമായ ഒരൊറ്റ പദമായിരുന്ന ‘ഇൻഫിനിറ്റി’ ഇവിടെ ഒരു ശ്രേണിയായി മാറുന്നു.
ട്രാൻസ്ഫൈനൈറ്റും അബ്സല്യൂട്ടും
ആക്ച്വൽ ഇൻഫിനിറ്റിയെ അംഗീകരിച്ചാൽ പുതിയൊരു അപകടം ഉടലെടുക്കുന്നു: നിയന്ത്രണമില്ലാത്ത പൂർണ്ണത [Unrestricted totalization]. എല്ലാ സെറ്റുകളുടെയും സെറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ എല്ലാ ഓർഡിനലുകളുടെയും സെറ്റ് എന്നിങ്ങനെയുള്ള സങ്കല്പങ്ങൾ പൊരുത്തക്കേടുകൾ സൃഷ്ടിക്കുമെന്ന് കാന്റർ കണ്ടെത്തി. എല്ലാ ഓർഡിനലുകളുടെയും ശേഖരത്തെ ഒരു സെറ്റായി പരിഗണിക്കാൻ കഴിയില്ല; കാരണം അതിന് ഒരു ക്രമം ഉണ്ടായിരുന്നെങ്കിൽ ആ ക്രമം അതിനേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം. ഇത് ഒരു വൈരുദ്ധ്യമാണ്.
ഇതിന് പരിഹാരമായാണ് ട്രാൻസ്ഫൈനൈറ്റും [Transfinite] അബ്സല്യൂട്ട് ഇൻഫിനിറ്റ് [Absolute Infinite] തമ്മിലുള്ള വേർതിരിവ് അദ്ദേഹം കൊണ്ടുവന്നു. ട്രാൻസ്ഫൈനൈറ്റ് സംഖ്യകൾ ഇൻഫിനിറ്റ് ആണെങ്കിലും കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ടവയാണ് [Determinate]. അവയ്ക്ക് കൃത്യമായ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവ ഗണിതക്രിയകളക്ക് വിധേയമാണ്. എന്നാൽ അതിന് വിപരീതമായി, അബ്സല്യൂട്ട് ഇൻഫിനിറ്റ് എന്നത് നിർണ്ണയങ്ങൾക്ക് അതീതമാണ്. അതിനെ ഒരു ഗണിത വസ്തുവായി പരിഗണിക്കാൻ കഴിയില്ല. കാന്റർ അതിനെ ദൈവമായി കണ്ടു.
ഈ വേർതിരിവ് കേവലം ഒരു ദൈവശാസ്ത്ര അലങ്കാരമല്ല; മറിച്ച് ഘടനാപരമായ അച്ചടക്കമാണ് [Structural discipline]. എല്ലാ ഓർഡിനലുകളുടെയും ശേഖരത്തെ ഒരു സെറ്റ് ആയി അംഗീകരിച്ചാൽ പാരഡോക്സ് സിദ്ധാന്തത്തെ മുഴുവൻ ബാധിക്കും. അബ്സല്യൂട്ടിന് ഗണിതപരമായ പദവി നിഷേധിക്കുന്നതിലൂടെ കാന്റർ ഈ തകർച്ച തടഞ്ഞു. ട്രാൻസ്ഫൈനൈറ്റ് മണ്ഡലം നിയമബദ്ധമായി അവശേഷിക്കുമ്പോൾ, അബ്സല്യൂട്ട് അതിന്റെ അതിർത്തിയായി മാറി.
സത്താധിഷ്ഠമായ പ്രതിബദ്ധതയിലൂടെയുള്ള സുസ്ഥിരത
കാന്ററുടെ സത്താധിഷ്ഠമായ നിലപാടുകൾ സിദ്ധാന്തത്തിന് രണ്ട് തരത്തിലുള്ള സുസ്ഥിരത നൽകുന്നു. ഒന്നാമതായി, ആക്ച്വൽ ഇൻഫിനിറ്റിയെ അംഗീകരിക്കുന്നത് ഇൻഫിനിറ്റിയിലെ ഗണിതക്രിയകൾക്ക് വഴിതുറക്കുന്നു. പവർ സെറ്റ് സിദ്ധാന്തവും അലഫ് [Aleph] സംഖ്യകളുടെ അധികാരശ്രേണിയും അർത്ഥവത്താകുന്നത് അപ്പോഴാണ്. രണ്ടാമതായി, പൂർണ്ണതകളുടെ പരിധി നിശ്ചയിക്കുന്നത് വൈരുദ്ധ്യങ്ങൾ പടരുന്നത് തടയുന്നു. ചില ശേഖരങ്ങൾ ഒന്നിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്തവിധം ‘വളരെ വലുതാണ്’ എന്ന് തിരിച്ചറിയുന്നതിലൂടെ സിദ്ധാന്തം സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു.
ഈ ബോധ്യങ്ങളില്ലായിരുന്നെങ്കിൽ സിദ്ധാന്തം ഒന്നുകിൽ ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടുമായിരുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ പാരഡോക്സുകളിൽ ഉരുകിപ്പോകുമായിരുന്നു. കാന്റർക്ക് ശേഷം ഇൻഫിനിറ്റിയെ വെറുമൊരു സംസാരരീതിയായി കാണാൻ കഴിയില്ല. അത് ഘടനാപരമായ ഒരു വിജ്ഞാനമണ്ഡലമായി മാറി. ആ മണ്ഡലം സത്താധിഷ്ഠമായ അനുമതിയെയാണ് [Ontological permission] ആശ്രയിക്കുന്നത്. ഇൻഫിനിറ്റ് പൂർണ്ണതകളെ വസ്തുക്കളായി കാണാനുള്ള അനുമതിയും, അവയെ പരിധികളില്ലാതെ ഒന്നിപ്പിക്കാൻ വിസമ്മതിക്കുന്നതുമാണ് ആ അനുമതി. ഇവിടെ മെറ്റാഫിസിക്സ് ഗണിതത്തിന് മുൻപേ വന്നില്ല, മറിച്ച് അതിനെ പിന്തുടരുകയാണ് ചെയ്തത്. എന്നാൽ ഒരിക്കൽ ആവിഷ്കരിക്കപ്പെട്ട ശേഷം, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് എന്ത് അവകാശപ്പെടാം എന്നതിനെ അത് നിയന്ത്രിച്ചു. കാന്ററിന്റെ ഇൻഫിനിറ്റിയുടെ ഗണിതം നിൽക്കുന്നത് സത്താധിഷ്ഠമായ ആ ബോധ്യങ്ങളുടെ മേലാണ്.