ദൈവശാസ്ത്ര-നിയമ ചട്ടക്കൂടുകൾ എങ്ങനെയാണ് നേരിട്ട് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ജന്മം നൽകുന്നത് എന്ന് മുൻപത്തെ പ്രബന്ധത്തിൽ വിശദീകരിക്കുകയുണ്ടായി. ഇസ്ലാമിക അനന്തരാവകാശ നിയമങ്ങൾ വിതരണക്രമത്തിൽ കൃത്യത ആവശ്യപ്പെട്ടപ്പോൾ, അതിനുള്ള വ്യവസ്ഥാപിത മറുപടിയായി അൽജിബ്ര രൂപപ്പെട്ടു. സത്താധിഷ്ഠമായ പ്രതിബദ്ധത [Ontological commitment] ഒരു ഘടനാപരമായ സമ്മർദ്ദമായി വർത്തിച്ച സന്ദർഭമായിരുന്നു അത്.
എന്നാൽ നിലവിലെ വിശകലനം ഇതിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായ മറ്റൊരു രീതിയെക്കുറിച്ചാണ്. ഇവിടെ സത്ത പുറത്തുനിന്നുള്ള ഒരു സമ്മർദ്ദമായിട്ടല്ല പ്രവർത്തിക്കുന്നത്. മറിച്ച്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് മുൻപേ നിലനിൽക്കുന്ന ഒരു ബൗദ്ധിക പദ്ധതിക്കുള്ളിലെ ‘ആകർഷകമായ കേന്ദ്രമായി’ [Attractor] അത് നിലകൊള്ളുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രം ഇവിടെ മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിക്കപ്പെട്ട ഒരു മെറ്റാഫിസിക്കൽ ബോധ്യത്തിന്റെ ആവിഷ്കാരമായി മാറുന്നു. ഗോട്ഫ്രീഡ് വിൽഹെം ലൈബ്നിറ്റ്സിന്റെ ബൈനറി ഗണിതവുമായുള്ള സംസർഗ്ഗം ഈ ക്രമീകരണത്തെ വ്യക്തമാക്കുന്നു.
ബൈനറിക്ക് മുൻപുള്ള കോമ്പിനേറ്റോറിയൽ പദ്ധതി
പ്രതീകാത്മകമായ ലഘൂകരണത്തോടുള്ള ലൈബ്നിറ്റ്സിന്റെ താല്പര്യം 1703-ലെ ബൈനറി ഗണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രബന്ധത്തിൽ നിന്നല്ല ആരംഭിക്കുന്നത്. അത് 1666-ൽ അദ്ദേഹം രചിച്ച തന്റെ പ്രബന്ധമായ Dissertatio de Arte Combinatoria¹-യിൽ നിന്നുതന്നെ തുടങ്ങുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ ആശയങ്ങളെല്ലാം ലളിതമായ മൂലകങ്ങളുടെ സംയോഗത്തിൽ നിന്നാണ് ഉദയം കൊള്ളുന്നതെന്നും, യുക്തിചിന്തയെത്തന്നെ ഇത്തരം സംയോഗങ്ങളുടെ ക്രിയയായി പരിഗണിക്കാമെന്നും തന്റെ ഇരുപതാം വയസ്സിൽ അദ്ദേഹം വാദിച്ചു.
അടിസ്ഥാന മൂലകങ്ങളെ വ്യവസ്ഥാപിതമായി കൂട്ടിയിണക്കുന്നതിലൂടെ അറിവ് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെന്നതായിരുന്നു Dissertatio de Arte Combinatoria-യുടെ പ്രധാന അവകാശവാദം. ആശയങ്ങളെ അവയുടെ ലളിതമായ ഘടകങ്ങളായി വിശകലനം ചെയ്യാമെന്നും, പ്രസ്താവനകളെ വിഘടിപ്പിക്കുകയും നിയമാനുസൃതമായി പുനഃസംയോജിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിലൂടെ തർക്കങ്ങൾ പരിഹരിക്കാമെന്നും അദ്ദേഹം കരുതി. ചിന്തയെ ഒരു ഘടനാപരമായ കണക്കുകൂട്ടലായി [Calculation] ലഘൂകരിക്കുക എന്ന ലക്ഷ്യം അവിടെത്തന്നെ വ്യക്തമായിരുന്നു.
ഇത് കേവലം സാങ്കേതികമായ ഒരു ആശയമായിരുന്നില്ല. യാഥാർത്ഥ്യത്തിന്റെ സ്വരൂപത്തെയും ഗ്രഹണശേഷിയെയും കുറിച്ചുള്ള ഒരു മെറ്റാഫിസിക്കൽ ബോധ്യത്തിലാണ് ഇത് അധിഷ്ഠിതമായിരുന്നത്. ലൈബ്നിറ്റ്സിനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ലോകം നിർമ്മിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് ‘മോണാഡുകൾ’ [Monads] എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ലളിതമായ പദാർത്ഥങ്ങളാലാണ്; ഇവയുടെ പരസ്പരബന്ധമാണ് വൈവിധ്യങ്ങൾക്ക് ജന്മം നൽകുന്നത്. സങ്കീർണ്ണത എന്നത് അടിസ്ഥാനപരമായ ഒന്നല്ല, മറിച്ച് നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്ന ഒന്നാണ്. ലോകത്തിന്റെ സത്താധിഷ്ഠമായ ഘടനയെ യുക്തിയുടെ തലത്തിൽ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുകയാണ് ഈ വിഭജന രീതി ചെയ്തത്.
തുടർന്നുള്ള ദശകങ്ങളിൽ, എല്ലാ യുക്തിചിന്തകളെയും ഒരു വ്യവസ്ഥാപിത പ്രതീകാത്മക വ്യൂഹത്തിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുന്ന Characteristica universalis എന്ന സാർവത്രിക ഭാഷയെക്കുറിച്ചുള്ള പദ്ധതിയദ്ദേഹം വികസിപ്പിച്ചു². ഇതിന് സമാന്തരമായി, യുക്തിചിന്തയെ യന്ത്രികമാക്കാൻ കഴിയുന്ന Calculus ratiocinator എന്ന പ്രക്രിയയെക്കുറിച്ചും അദ്ദേഹം വിവരിച്ചു. അഭിപ്രായവ്യത്യാസങ്ങൾക്ക് പകരം അവിടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉണ്ടാകും; പ്രതീകങ്ങളുടെ വിന്യാസത്തിലൂടെ സത്യം തെളിയിക്കപ്പെടും. ബൈനറി പ്രബന്ധത്തിന് മുപ്പത് വർഷങ്ങൾക്ക് മുൻപ് തന്നെ പ്രതീകാത്മക ലഘൂകരണത്തോടും ജനറേറ്റീവ് ലാളിത്യത്തോടുമുള്ള ലൈബ്നിറ്റ്സിന്റെ പ്രതിബദ്ധത അദ്ദേഹത്തിന്റെ ബൗദ്ധിക സ്വത്വത്തിന്റെ കേന്ദ്രമായിരുന്നു.
ബൈനറി ഗണിതത്തിന്റെ സാങ്കേതിക രൂപം
1703-ൽ Explication de l’Arithmétique Binaire പ്രസിദ്ധീകരിച്ചപ്പോൾ, 0, 1 എന്നീ രണ്ട് പ്രതീകങ്ങൾ മാത്രം ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യാസമ്പ്രദായമാണ് അദ്ദേഹം അവതരിപ്പിച്ചത്³. ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെയും രണ്ടിന്റെ ഘാതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഇതിലൂടെ സാധിക്കുന്നു:
$$ n = \sum_{k=0}^{m} c_k 2^k, \quad \text{where } c_k \in {0,1} $$
ഉദാഹരണത്തിന്:
$$ 5 = 2^2 + 2^0 = 101_2 $$
$$ 13 = 2^3 + 2^2 + 2^0 = 1101_2 $$
ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ നിയമങ്ങൾ ഈ അടിസ്ഥാനക്രമത്തെയാണ് പിന്തുടരുന്നത്. ഒന്നേ അധികം ഒന്ന് എന്നത് 10 എന്ന് ബൈനറിയിൽ രേഖപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പത്തിന് പകരം രണ്ടിൽ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു. ഈ സമ്പ്രദായം ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി വളരെ ലളിതമാണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് ഏത് സ്ഥാനീയ മൂല്യ സമ്പ്രദായവും [Positional base] മതിയാകുമായിരുന്നു.
ബൈനറി ഗണിതത്തെ ലൈബ്നിറ്റ്സിന്റെ മുൻപിൽ സവിശേഷമാക്കിയത് അതിന്റെ കണക്കുകൂട്ടാനുള്ള കഴിവല്ല, മറിച്ച് അതിന്റെ ഘടനാപരമായ ലാളിത്യമായിരുന്നു [Structural austerity]. എല്ലാ സംഖ്യകളും രണ്ട് പ്രാഥമിക പ്രതീകങ്ങളുടെ സംയോഗത്തിൽ നിന്നാണ് ഉണ്ടാകുന്നത്. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂലകങ്ങളിൽ നിന്ന് വൈവിധ്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുന്നു. തന്റെ 1703-ലെ പ്രബന്ധത്തിൽ അദ്ദേഹം ഈ സവിശേഷതയിലേക്ക് ദാർശനിക ശ്രദ്ധ ക്ഷണിച്ചു. ഏകത്വത്തിൽ നിന്നും ശൂന്യതയിൽ നിന്നും ബഹുത്വം രൂപപ്പെടുന്നതിന്റെ പ്രതിഫലനമായി അദ്ദേഹം ഇതിനെ വ്യാഖ്യാനിച്ചു. ഇതിനെ തന്റെ ദൈവശാസ്ത്രപരമായ ചിന്തകളുമായും ചൈനീസ് ക്ലാസിക്കൽ ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ അദ്ദേഹം വിശ്വസിച്ചിരുന്ന പാറ്റേണുകളുമായും അദ്ദേഹം പ്രതീകാത്മകമായി ബന്ധിപ്പിച്ചു⁴. ഇത്തരം സാംസ്കാരിക വായനകൾ എത്രത്തോളം ശരിയാണെന്നതിനേക്കാൾ പ്രസക്തം, ലൈബ്നിറ്റ്സ് ബൈനറി ഗണിതത്തെ കേവലമൊരു സാങ്കേതിക കൗതുകമായല്ല കണ്ടത് എന്നതാണ്. തന്റെ ദീർഘകാല മെറ്റാഫിസിക്കൽ പദ്ധതിയുടെ ഔദ്യോഗിക ആവിഷ്കാരമായാണ് അദ്ദേഹം അതിനെ വായിച്ചത്.
എന്തുകൊണ്ട് ബൈനറി?
ബൈനറി ഗണിതം ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഒരു അനിവാര്യതയായിരുന്നില്ല. പല സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങളും അവിടെ സാധ്യമായിരുന്നു. എങ്കിലും ലൈബ്നിറ്റ്സ് ഈ പ്രത്യേക വ്യൂഹത്തെ ഉയർത്തിക്കാട്ടാൻ കാരണം, അത് Dissertatio de Arte Combinatoria-യിലും സാർവത്രിക ഭാഷാ പദ്ധതിയിലും അദ്ദേഹം ആവിഷ്കരിച്ച തത്വങ്ങളുടെ സംഖ്യാപരമായ ഉദാഹരണമായിരുന്നു എന്നതുകൊണ്ടാണ്. സങ്കീർണ്ണമായ സത്യങ്ങൾ ലളിതമായ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഉണ്ടാകുന്നതെങ്കിൽ, രണ്ട് പ്രാഥമിക മൂലകങ്ങളിൽ പടുത്തുയർത്തിയ ഒരു സംഖ്യാസമ്പ്രദായം ആ യുക്തിയെ ഏറ്റവും സുതാര്യമായി വെളിപ്പെടുത്തുന്നു. ഇത് പ്രതീകാത്മക പദാവലികളെ കുറയ്ക്കുകയും ഘടനാപരമായ സംയോഗങ്ങളെ [Combinatorics] വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
അതുകൊണ്ട് തന്നെ, ഇതിന്റെ സ്വാധീനദിശ വ്യക്തമാണ്. ലാളിത്യത്തോടും കോമ്പിനേറ്റോറിയൽ ഉല്പാദനത്തോടുമുള്ള സത്താധിഷ്ഠമായ പ്രതിബദ്ധത ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ വിവരണത്തിന് മുൻപേ നിലനിന്നിരുന്നു. ബൈനറി ഗണിതം ആ പദ്ധതിക്ക് അനുയോജ്യമായിരുന്നു; അത് പദ്ധതിയെ സൃഷ്ടിക്കുകയല്ല ചെയ്തത്. ഗണിതശാസ്ത്രം സ്വതന്ത്രമായി നിലനിൽക്കുന്നതാണ്; അതിന്റെ സാധുതയ്ക്ക് മെറ്റാഫിസിക്സിന്റെ ആവശ്യമില്ല. എന്നാൽ അതിന് ദാർശനികമായ പ്രാധാന്യം ലഭിച്ചത് മുൻകൂട്ടി നിലനിന്നിരുന്ന സത്താപരമായ ആഭിമുഖ്യം മൂലമാണ്.
സത്ത ഒരു ആകർഷക ശക്തിയായി
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സത്താധിഷ്ഠമായ ബോധ്യം പുറത്തുനിന്നുള്ള പ്രേരണയല്ല, മറിച്ച് ഒരു ആകർഷക ശക്തിയായിട്ടാണ് വർത്തിക്കുന്നത്. അത് ചില ഗണിതരൂപങ്ങളെ ആഴത്തിലുള്ള പ്രതിബദ്ധതകളുമായി അനുരഞ്ജിപ്പിക്കുന്നു. ബൈനറി ഗണിതത്തിലെ പ്രതീകാത്മക ലാളിത്യം ലൈബ്നിറ്റ്സിനെ ആകർഷിച്ചത് അത് ലോകത്തിന്റെ മെറ്റാഫിസിക്കൽ ചിത്രത്തെ—ലളിതമായ ഏകകങ്ങളിൽ നിന്ന് ഘടനാപരമായ വൈവിധ്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുന്നു എന്ന ബോധ്യത്തെ—പ്രതിഫലിപ്പിച്ചതുകൊണ്ടാണ്.
ലൈബ്നിറ്റ്സിന്റെ കോമ്പിനേറ്റോറിയൽ ലോജിക്കും (1666), സാർവത്രിക ഭാഷാ പദ്ധതിയും (1670-80), അദ്ദേഹത്തിന്റെ പിൽക്കാല മെറ്റാഫിസിക്കൽ രചനകളും (1714-ലെ Monadology ഉൾപ്പെടെ) ഒരേ ദിശയിലുള്ള ചിന്തകളാണ്⁵. ബൈനറി ഗണിതം കേവലമൊരു സാങ്കേതിക കൂട്ടിച്ചേർക്കലല്ല, മറിച്ച് ആ വിചാരധാരയുടെ സ്ഫുടീകരണം മാത്രമാണ്. നിയമപരമായ സത്ത ഔദ്യോഗിക പരിഹാരം ആവശ്യപ്പെട്ട അൽജിബ്രയുടെ സാഹചര്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ലൈബ്നിറ്റ്സിന്റെ കാര്യത്തിൽ സത്ത എന്നത് നിലവിലുള്ള ഗണിതവ്യവസ്ഥയെ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലും വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നതിലും വലിയ പങ്ക് വഹിച്ചു. മെറ്റാഫിസിക്കൽ ലാളിത്യമാണ് ഇവിടെ പ്രധാന ആകർഷക ഘടകം.
References
ജി. ഡബ്ല്യു. ലൈബ്നിറ്റ്സിന്റെ ആദ്യകാല ദർശനങ്ങളുടെ വികാസം ദർശിക്കാവുന്ന Dissertatio de Arte Combinatoria (1666) എന്ന പ്രബന്ധം, ചിന്തയെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ സംയോഗങ്ങളായി ലഘൂകരിക്കാനുള്ള അദ്ദേഹത്തിന്റെ ശ്രമങ്ങളുടെ ആദിരൂപമാണ്. Leroy E. Loemker എഡിറ്റ് ചെയ്ത Philosophical Papers and Letters-ൽ ഇതിന്റെ സമഗ്രമായ ഇംഗ്ലീഷ് പരിഭാഷ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.
ലൈബ്നിസിന്റെ ബൗദ്ധിക ജീവിതത്തെയും അദ്ദേഹത്തിന്റെ മെറ്റാഫിസിക്കൽ ബോധ്യങ്ങളെയും കുറിച്ച് ആഴത്തിലുള്ള അറിവ് നൽകുന്ന ഗ്രന്ഥമാണ് മരിയ റോസ ആന്റോണസ്സ രചിച്ച Leibniz: An Intellectual Biography (Cambridge University Press, 2009). വിശേഷിച്ച് ഈ ഗ്രന്ഥത്തിലെ നാല് മുതൽ ആറ് വരെയുള്ള അധ്യായങ്ങൾ, അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങളും ദാർശനിക അന്വേഷണങ്ങളും തമ്മിലുള്ള അവിഭാജ്യമായ ബന്ധത്തെ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു.
1703-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച Explication de l’Arithmétique Binaire എന്ന പ്രബന്ധത്തിലൂടെയാണ് ലൈബ്നിറ്റ്സ് തന്റെ ബൈനറി ഗണിതക്രമത്തെ ലോകത്തിന് പരിചയപ്പെടുത്തിയത്. കേവലമൊരു സംഖ്യാശാസ്ത്രം എന്നതിലുപരി, ശൂന്യതയിൽ നിന്നുള്ള പ്രപഞ്ചസൃഷ്ടിയുടെ (Creation ex nihilo) ദൈവശാസ്ത്രപരമായ സാക്ഷ്യമായാണ് അദ്ദേഹം ഈ ക്രമത്തെ വിലയിരുത്തിയത്. Roger Ariew, Daniel Garber എന്നിവർ എഡിറ്റ് ചെയ്ത Philosophical Essays-ലും ഇതിന്റെ പ്രസക്ത ഭാഗങ്ങൾ കാണാവുന്നതാണ്.
ലൈബ്നിസിന്റെ വിചാരധാരയിൽ ചൈനീസ് ദർശനങ്ങൾ ചെലുത്തിയ സ്വാധീനത്തെക്കുറിച്ച് ഫ്രാങ്ക്ലിൻ പെർക്കിൻസ് രചിച്ച Leibniz and China: A Commerce of Light (Cambridge University Press, 2004) എന്ന ഗ്രന്ഥം ഗൗരവകരമായ നിരീക്ഷണങ്ങൾ മുന്നോട്ടുവെക്കുന്നു. പുരാതനമായ ഐ ചിംഗ് (I Ching) പ്രതീകങ്ങളും ബൈനറി ലോജിക്കും തമ്മിലുള്ള സമാന്തരങ്ങളെ ഈ പഠനം സൂക്ഷ്മമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്നു.
ലൈബ്നിസിന്റെ ദാർശനിക പ്രപഞ്ചത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആവിഷ്കാരങ്ങളിലൊന്നാണ് 1714-ൽ രചിക്കപ്പെട്ട Monadology. പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഏകകങ്ങളായ ‘മോണാഡുകളെ’ കുറിച്ചുള്ള ഈ സിദ്ധാന്തം, ലളിതമായ സത്തകളിൽ നിന്ന് സങ്കീർണ്ണമായ യാഥാർത്ഥ്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുന്നു എന്ന അദ്ദേഹത്തിന്റെ ബോധ്യത്തിന്റെ ആത്യന്തിക രൂപമാണ്.