സത്താപരമായ പ്രതിബദ്ധതകളും ജ്ഞാനാന്വേഷണത്തിന്റെ ഘടനയും (2): ബാധ്യതയായി മാറുന്ന കൃത്യതയും അൽജിബ്രയുടെ ഉദയവും

ഉയർന്ന തലത്തിലുള്ള സത്താധിഷ്ഠമായ പ്രതിബദ്ധതകൾ വിചാരപരിസരത്തെ (Intellectual search space) രൂപപ്പെടുത്തുന്നു എന്ന് മുൻപത്തെ പ്രബന്ധത്തിൽ വാദിക്കുകയുണ്ടായി. ഏതൊക്കെ പ്രശ്നങ്ങൾ അടിയന്തരമായി മാറണമെന്നും, ഏതൊക്കെ പരിഹാരങ്ങൾ സ്വീകാര്യമാകണമെന്നും, ഏത് തരം ആശയപരമായ ഉപകരണങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കണമെന്നും ഇവയാണ് നിശ്ചയിക്കുന്നത്. ഒരു നിയമ-ദൈവശാസ്ത്ര ചട്ടക്കൂട്, വ്യവസ്ഥാപിതമായ പരിഹാരങ്ങൾ ആവശ്യമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ആവർത്തിച്ച് ജന്മം നൽകിയ ഒരു ചരിത്രസന്ദർഭത്തെക്കുറിച്ചാണ് നിലവിലെ വിശകലനം. ഇസ്‌ലാമിക അനന്തരാവകാശ നിയമങ്ങളും മുഹമ്മദ് ഇബ്നു മൂസ അൽ-ഖ്വാരിസ്മിയുടെ സംഭാവനകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ് ഇവിടെ പരിശോധിക്കപ്പെടുന്നത്.

അൽജിബ്ര എന്നത് കേവലം ഒരു കാരണത്താൽ മാത്രം ഉദയം ചെയ്തതാണെന്ന് പറയുന്നത് തെറ്റിദ്ധാരണാജനകമായിരിക്കും. ബാബിലോണിയൻ, ഗ്രീക്ക്, ഇന്ത്യൻ നാഗരികതകളിൽ നിന്നുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര പാരമ്പര്യങ്ങൾ അക്കാലത്ത് ലഭ്യമായിരുന്നു. അൽ-ഖ്വാരിസ്മിയുടെ ഗ്രന്ഥം അനന്തരാവകാശത്തിന് പുറമെ വ്യാപാരം, സർവേയിംഗ് തുടങ്ങിയ പ്രായോഗിക കാര്യങ്ങളെയും സ്പർശിച്ചിരുന്നു. ഇവിടെ വിവക്ഷിക്കുന്നത് അൽജിബ്രയുടെ ഏകപക്ഷീയമായ ഉത്ഭവത്തെയല്ല, മറിച്ച് ഘടനാപരമായ സമ്മർദ്ദത്തിന്റെ (Structural pressure) ഒരു ദൃഷ്ടാന്തത്തെക്കുറിച്ചാണ്. ഇസ്‌ലാമിക അനന്തരാവകാശ നിയമം എന്നത്, നിശ്ചിതമായ വിതരണ നിയമങ്ങൾ ആവർത്തിച്ചുള്ള അനുപാത പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ജന്മം നൽകിയ ഒരു മണ്ഡലമാണ്; ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ സ്വാഭാവികമായും സാർവത്രികമായ ഗണിതരീതികളുടെ ആവശ്യകതയിലേക്ക് നയിച്ചു.

ഖുറാനിലെ അനന്തരാവകാശ വ്യവസ്ഥകൾ (4:11–12, 4:176) നിശ്ചിത സാഹചര്യങ്ങളിൽ അവകാശികൾക്ക് കൃത്യമായ ഭിന്നസംഖ്യാ ഓഹരികൾ അനുവദിക്കുന്നു. പുത്രന്മാർക്ക് പുത്രിമാരുടേതിനേക്കാൾ ഇരട്ടി ഓഹരിയും, പങ്കാളികൾക്കും മാതാപിതാക്കൾക്കും സഹോദരങ്ങൾക്കും നിശ്ചിത നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായ ഭാഗങ്ങളും നീക്കിവെച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ ഭിന്നസംഖ്യകൾ അലംഘനീയമായവയാണ്. അവ ചർച്ചകളിലൂടെ മാറ്റം വരുത്താവുന്ന മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങളല്ല, മറിച്ച് കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ട വിഭജനങ്ങളാണ്.

യഥാർത്ഥ ജീവിതസാഹചര്യങ്ങളിൽ ഈ നിശ്ചിത ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒത്തുചേരുമ്പോഴാണ് സങ്കീർണ്ണതകൾ രൂപപ്പെടുന്നത്. ഒമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ രചിക്കപ്പെട്ട അൽ-ഖ്വാരിസ്മിയുടെ ‘കിതാബ് അൽ-ജബർ വ-ൽ മുഖാബല’ അനന്തരാവകാശ വിതരണമടക്കമുള്ള പ്രായോഗിക സാഹചര്യങ്ങളിൽ രൂപപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള വ്യവസ്ഥാപിത രീതികൾ മുന്നോട്ടുവെച്ചു. അൽ-ഖ്വാരിസ്മിയുടെ ഗ്രന്ഥത്തിൽ വിവരിക്കുന്ന ഒരു സാഹചര്യം ഇപ്രകാരമാണ്: മാരകമായ രോഗാവസ്ഥയിലിരിക്കെ ഒരാൾ ഒരു സ്ത്രീയെ വിവാഹം കഴിക്കുകയും നൂറു ദിർഹം പ്രതിഫലമായി നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു; ഇതിൽ പത്തു ദിർഹം അവളുടെ മഹർ ആണ്. തന്റെ സ്വത്തിന്റെ മൂന്നിലൊന്ന് വിൽപ്പത്രമായി നൽകിയ ശേഷം ആ സ്ത്രീ മരണപ്പെടുന്നു; തൊട്ടുപിന്നാലെ ഭർത്താവും മരിക്കുന്നു.

ഇവിടെ ഒരു അജ്ഞാത ഘടകത്തെ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ടാണ് അൽ-ഖ്വാരിസ്മി ആരംഭിക്കുന്നത്. മഹറിന് പുറമെ അവൾക്ക് നൽകിയ അധിക സമ്മാനത്തെ അദ്ദേഹം “ഒരു സംഗതി” എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആകെ പ്രതിഫലം: $$ 100 $$

മഹർ: $$ 10 $$

അധിക സമ്മാനം: $$ x $$

അതിനാൽ ഭാര്യക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $$ 10 + x $$

അവൾക്ക് തന്റെ കൈവശമുള്ളതിന്റെ മൂന്നിലൊന്ന് വിനിയോഗിക്കാൻ അവകാശമുണ്ട്. അതിനാൽ ഭർത്താവിന്റെ അവകാശികൾക്ക് ലഭിക്കുന്ന തുക:

ഈ തുക സമ്മാനമായി നൽകിയ അധിക തുകയുടെ ഇരട്ടിയായിരിക്കണം:

ഇത് ലഘൂകരിക്കുമ്പോൾ:

ഇവിടെ പ്രസക്തമാകുന്നത് സംഖ്യാപരമായ ഉത്തരമല്ല, മറിച്ച് ആ വിനിമയ പ്രക്രിയയാണ്. ഒരു നിയമപരമായ വിവരണം ഇവിടെ ഒരു സമവാക്യമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഒരു അജ്ഞാത ഘടകം അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുകയും പദങ്ങൾ തുലനം ചെയ്യപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. ശ്രദ്ധേയമായ കാര്യം, ഇത്തരം പല അനന്തരാവകാശ പ്രശ്നങ്ങളിലും സമവാക്യത്തിന്റെ ഘടന കേവലമായ ഗണിതപരമായ അനിവാര്യതയെയല്ല, മറിച്ച് കർമ്മശാസ്ത്രപരമായ നിയന്ത്രണങ്ങളെയാണ് പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നത് എന്നതാണ്. പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിലെ വ്യാഖ്യാതാക്കൾ നിരീക്ഷിച്ചതുപോലെ, സമവാക്യങ്ങളിലെ ചില ലഘൂകരണങ്ങൾ അനന്തരാവകാശ നിയമങ്ങളിലെ നിലവിലുള്ള ചട്ടങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടാൻ പാകത്തിലാണ് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. സമവാക്യം ഇവിടെ നിഷ്പക്ഷമായ ഒരു ഗണിത വസ്തുവല്ല; അത് നിയമപരമായ സിദ്ധാന്തങ്ങളെക്കൂടി ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. സത്താപരമായ ആവശ്യങ്ങൾക്കനുസൃതമായി ഗണിതരൂപങ്ങൾ ഇവിടെ രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു.

ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ നേട്ടത്തിന്റെ മൂല്യം കുറയ്ക്കുന്നില്ല. മറിച്ച്, വ്യവസ്ഥാപിതമായ ഒരു നിയമസത്തയ്ക്കുള്ളിൽ എങ്ങനെയാണ് യുക്തിചിന്തകൾ വികസിക്കുന്നത് എന്നതിന് ഇത് ഉദാഹരണമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രം അതിന്റെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ നിന്നും അടർന്നുമാറിയല്ല നിലനിൽക്കുന്നത്; മറിച്ച് ആ പശ്ചാത്തലത്താൽ അത് രൂപപ്പെടുത്തപ്പെടുകയാണ്.

അൽ-ഖ്വാരിസ്മിയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇത്തരം ഏകമാന സമവാക്യങ്ങളിൽ ഒതുങ്ങിനിന്നില്ല. സമവാക്യങ്ങളെ മാനക രൂപങ്ങളായി തരംതിരിക്കുകയും ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള പൊതുരീതികൾ അദ്ദേഹം നൽകുകയും ചെയ്തു. “വർഗ്ഗങ്ങളും മൂലങ്ങളും സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമാണ്” തുടങ്ങിയ പ്രയോഗങ്ങൾ കൃത്യമായ ക്രമങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റുകയും ജ്യാമിതീയ യുക്തിയിലൂടെ അവ പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്തു. അനന്തരാവകാശ പ്രശ്നങ്ങളിലും ഇതേ രീതിയിലുള്ള വ്യവസ്ഥാപിത ലഘൂകരണങ്ങളാണ് പ്രകടമാകുന്നത്. വിഭിന്നമായ പ്രശ്നങ്ങളെ അദ്ദേഹം ഒരൊറ്റ രീതിശാസ്ത്രത്തിന് കീഴിൽ ഏകോപിപ്പിച്ചു.

ഈ വികാസത്തിന്റെ പ്രാധാന്യം അത് ഉദയം ചെയ്ത പശ്ചാത്തലത്തിലാണ് കുടികൊള്ളുന്നത്. ഇവിടുത്തെ വിതരണ നിയമങ്ങൾ ദൈവികമായി കൽപ്പിക്കപ്പെട്ട ക്രമത്തിന്റെ അലംഘനീയമായ പ്രകടനങ്ങളായാണ് കരുതപ്പെടുന്നത്. മരണാനന്തരമുള്ള സ്വത്ത് വിഭജനം നിർദ്ദേശിക്കപ്പെട്ട ഭിന്നസംഖ്യകളുമായി പൂർണ്ണമായും പൊരുത്തപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്. ഏകദേശ കണക്കുകൾ ഇവിടെ സ്വീകാര്യമല്ല. ഘടന നിശ്ചിതമായതിനാൽ ഓഹരികൾ കൃത്യമായി തുലനം ചെയ്യപ്പെടണം.

ഇത്തരമൊരു വ്യവസ്ഥയിൽ കൃത്യത എന്നത് ഒരു നിരന്തരമായ ബാധ്യതയാണ്. ആവർത്തിച്ചുള്ള കേസുകൾ ആവർത്തിച്ചുള്ള അനുപാത സമ്മർദ്ദങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. അജ്ഞാത ഘടകത്തിന്റെ അവതരണവും, പദങ്ങളുടെ ക്രമീകരണവും, പ്രശ്നങ്ങളെ പൊതുവായ മാതൃകകളിലേക്ക് മാറ്റുന്ന രീതിയും കേവലമായ വിവരണങ്ങൾ പരാജയപ്പെടുന്നിടത്ത് സുസ്ഥിരത നൽകുന്നു. ഘടനാപരമായ ആവശ്യത്തോടുള്ള പ്രതികരണമാണ് ഇവിടെ അൽജിബ്ര.

സമാനമായ കൃത്യതയുടെ ആവശ്യകത ഇസ്‌ലാമിക ജീവിതത്തിന്റെ മറ്റ് മേഖലകളിലും ഉയർന്നു വന്നു. നമസ്കാര സമയങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കൽ ചന്ദ്രമാസ ഗണന, വിദൂരദേശങ്ങളിൽ നിന്ന് മക്കയുടെ ദിശ കണ്ടെത്തൽ എന്നിവയ്ക്ക് കൂടുതൽ സൂക്ഷ്മമായ ജ്യോതിശാസ്ത്ര-ജ്യാമിതീയ യുക്തികൾ ആവശ്യമായിരുന്നു. ചന്ദ്രമാസ ഗണനയ്ക്കും സമാനമായ കണക്കുകൂട്ടൽ സൂക്ഷ്മത ആവശ്യമായിരുന്നു. സംഖ്യാപരമായ സൂക്ഷ്മതയ്ക്ക് നിയമപരമായ പ്രാധാന്യമുള്ള ഒരു ബൗദ്ധിക അന്തരീക്ഷത്തെ ഈ ആചാരങ്ങൾ ശക്തിപ്പെടുത്തി.

അൽ-ഖ്വാരിസ്മിയുടെ പേരിന്റെ ലാറ്റിൻ രൂപത്തിൽ നിന്നാണ് ആധുനിക കാലത്തെ “അൽഗോരിതം” എന്ന വാക്കുണ്ടായത്. മധ്യകാല ലാറ്റിൻ വിവർത്തനങ്ങളിൽ, അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഇന്ത്യൻ സംഖ്യാ സമ്പ്രദായത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങൾ Algoritmi de numero Indorum എന്ന ശീർഷകത്തിൽ അറിയപ്പെട്ടു. ഈ ശീർഷകത്തിൽ നിന്നാണ് ‘അൽഗോരിത്മി’ എന്ന പദവും പിന്നീട് ‘അൽഗോരിതം’ എന്ന വാക്കും വികസിച്ചത്. ഇത് അദ്ദേഹത്തിന്റെ അൽജിബ്ര ഗ്രന്ഥത്തേക്കാൾ സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തോടുള്ള കടപ്പാടാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്; അറബി പാണ്ഡിത്യത്തിലൂടെ ഇന്ത്യൻ ഗണിതം പാശ്ചാത്യ ലോകത്തേക്ക് കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെട്ടതിന്റെ ചരിത്രപരമായ സാക്ഷ്യമാണിത്.

ഉയർന്ന തലത്തിലുള്ള സത്താപരമായ പ്രതിബദ്ധത—വെളിപ്പെടുത്തപ്പെട്ട നിയമത്തിൽ അധിഷ്ഠിതമായ വിതരണക്രമം—ജ്ഞാനാന്വേഷണത്തിന്റെ ഒരു മണ്ഡലത്തെ എങ്ങനെ രൂപപ്പെടുത്തി എന്നതിന് ഈ സന്ദർഭം ഒരു ദൃഷ്ടാന്തമാണ്. ഔദ്യോഗികമായ പരിഹാരം ആവശ്യമായ ആവർത്തിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ ഇതിലൂടെ രൂപപ്പെട്ടു. അൽജിബ്ര കേവലം നിയമത്തിനൊപ്പം നിലനിൽക്കുകയല്ല ചെയ്തത്, മറിച്ച് അതിനോടുള്ള നിരന്തരമായ സംസർഗ്ഗത്തിലൂടെയാണ് അത് വികസിച്ചത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സത്ത എന്നത് ചോദിക്കപ്പെടുന്ന ചോദ്യങ്ങളെ മാത്രമല്ല, അവയ്ക്ക് ഉത്തരം നൽകാനായി നിർമ്മിക്കപ്പെട്ട സമവാക്യങ്ങളുടെ സ്വരൂപത്തെയും രൂപപ്പെടുത്തി.