മുമ്പത്തെ ഉപന്യാസങ്ങളിൽ സത്ത [Ontology] എന്നത് ഒരു ആവശ്യകതയായും പിന്നീട് ഒരു സുസ്ഥിരീകരണ ഘടകമായും പ്രവർത്തിക്കുന്നത് നാം കണ്ടു. അൽജിബ്രയുടെ കാര്യത്തിൽ, ഒരു ദൈവശാസ്ത്ര-നിയമ ഘടന ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രശ്നങ്ങളെ നേരിട്ട് സൃഷ്ടിക്കുകയാണുണ്ടായത്. കാന്ററുടെ കാര്യത്തിലാകട്ടെ, ഒരു സാങ്കേതിക വിച്ഛേദത്തെ തുടർന്ന് ട്രാൻസ്ഫൈനൈറ്റ് ഗണിതത്തിന്റെ സാധുത ഉറപ്പാക്കാൻ സത്താധിഷ്ഠിതമായ ഒരു ബോധ്യം ആവശ്യമായി വന്നു. എന്നാൽ നിലവിലെ വിഷയം ഈ രണ്ട് ക്രമീകരണങ്ങളിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായ മൂന്നാമതൊരു മാതൃകയെയാണ് പിന്തുടരുന്നത്. ഇവിടെ സത്ത എന്നത് ഒരു പ്രശ്നം അടിച്ചേൽപ്പിക്കുകയോ ഒരു വിച്ഛേദത്തെ പിന്തുടരുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല. പകരം, അതൊരു അനുഭാവപൂർണ്ണമായ വിചാരപരിസരമായി [Permissive atmosphere] പ്രവർത്തിക്കുന്നു — അത്യന്തം ഗഹനമായ ഒരു അമൂർത്തീകരണത്തിന് [Abstraction] ഇവിടെ ആശയപരമായ സ്വീകാര്യത ലഭിക്കുന്നു.

പൂജ്യം എന്ന ചിഹ്നം ഇന്ത്യയിൽ മാത്രമായി ഉദയം ചെയ്ത ഒന്നല്ല. ബാബിലോണിയൻ ലിപികളിൽ ഒരു സ്ഥാനം ശൂന്യമാണെന്ന് കാണിക്കാൻ പ്രത്യേക അടയാളങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. മായൻ സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തിലും പൂജ്യത്തിന് സമാനമായ ചിഹ്നമുണ്ടായിരുന്നു. എന്നാൽ ഇന്ത്യൻ വികാസത്തെ വേറിട്ടു നിർത്തുന്നത് കേവലമൊരു സ്ഥാനസൂചകം എന്നതിനപ്പുറം, പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയായി പരിഗണിച്ചു എന്നതാണ് — അതായത്, ഗണിതക്രിയകളിൽ നേരിട്ട് പങ്കെടുക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു സത്തയായി പൂജ്യം മാറി. ഈ പ്രക്രിയയ്ക്ക് വ്യക്തമായ വിശദീകരണം ആവശ്യമാണ്.

I. സ്ഥാനസൂചകത്തിൽ നിന്ന് സംഖ്യയിലേക്ക്

ഒരു സ്ഥാനീയ സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തിന് 15-ഉം 105-ഉം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം രേഖപ്പെടുത്താൻ ഒരു മാർഗ്ഗം ആവശ്യമാണ്. 105 എന്ന സംഖ്യയിൽ പത്തിന്റെ സ്ഥാനത്ത് ഒന്നുമില്ലെന്ന് കാണിക്കാൻ ഒരു ചിഹ്നമില്ലെങ്കിൽ ആ സംഖ്യ ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കും. ഒരു സ്ഥാനസൂചകം ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു. അത് ഒരു അളവിനെ സൂചിപ്പിക്കാതെ ഒരു സ്ഥാനം കൈവശം വെക്കുന്നു.

എന്നാൽ ഒരു സ്ഥാനസൂചകം മാത്രം ഒരിക്കലും ഒരു സംഖ്യയാകുന്നില്ല. ഗണിതക്രിയകളുടെ ഫലമായി വരാനും തുടർക്രിയകളിൽ പങ്കെടുക്കാനും കഴിയുന്ന ഒന്നിനെ മാത്രമേ സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കാൻ സാധിക്കൂ. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു മൂലകമായി ‘ഒന്നുമില്ലായ്മ’യെ [Nothing] പ്രവർത്തിക്കാൻ അനുവദിക്കുമ്പോഴാണ് സ്ഥാനസൂചകത്തിൽ നിന്നും സംഖ്യയിലേക്കുള്ള ഈ മാറ്റം സംഭവിക്കുന്നത്.

ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളിലാണ് ഈ പരിവർത്തനം വ്യക്തമാകുന്നത്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ‘ബ്രഹ്മസ്ഫുടസിദ്ധാന്തത്തിൽ’ (ക്രി.വ. 628) പൂജ്യത്തെ (ശൂന്യം) ഉൾപ്പെടുത്തിക്കൊണ്ടുള്ള ഗണിതനിയമങ്ങൾ അദ്ദേഹം വ്യക്തമായി രൂപപ്പെടുത്തി. അദ്ദേഹം ഇപ്രകാരം രേഖപ്പെടുത്തി:

$$a + 0 = a$$

$$a - 0 = a$$

$$a \times 0 = 0$$

പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണത്തെക്കുറിച്ചും അദ്ദേഹം പരാമർശിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിലും, ആശയപരമായ ആ മണ്ഡലം അന്ന് രൂപപ്പെട്ടുവരികയായിരുന്നു എന്ന് ഇതിൽ നിന്നും വ്യക്തമാണ്. പൂജ്യം ഇവിടെ കേവലമൊരു ചിഹ്നമല്ല, മറിച്ച് ക്രിയകൾക്ക് വിധേയമാകുന്ന ഒരു ഘടകമാണ് (Operand).

പൂജ്യം ഇവിടെ ഒരു സംഖ്യയായി മാറുന്നു. ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ പൂജ്യം ഒറ്റയ്ക്ക് കണ്ടുപിടിച്ചതാണോ എന്നതല്ല ഇവിടുത്തെ ചോദ്യം; അദ്ദേഹത്തിന് മുൻപുള്ള ആര്യഭടനെപ്പോലുള്ളവർ സ്ഥാനീയ സമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. എന്നാൽ പൂജ്യത്തെ ഒരു ഔദ്യോഗിക ഗണിതവസ്തുവായി കാണാനുള്ള ഈ നീക്കം ഇന്ത്യയിൽ ആശയപരമായ സ്വീകാര്യത നേടുകയും മറ്റിടങ്ങളിൽ തടസ്സങ്ങൾ നേരിടുകയും ചെയ്തത് എന്തുകൊണ്ടാണ് എന്നതാണ് യഥാർത്ഥ ചോദ്യം. ഇതിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ ഗണിതത്തിന് അപ്പുറത്തേക്ക് നോക്കേണ്ടതുണ്ട്.

II. ഒന്നുമില്ലായ്മയും സത്താപരമായ നിയന്ത്രണങ്ങളും

പുരാതന ഗ്രീക്ക് ദർശനങ്ങളിൽ ‘ഇല്ലാത്ത ഒന്ന്’ [Non-being] സംശയത്തോടെയാണ് വീക്ഷിക്കപ്പെട്ടിരുന്നത്. ‘ഇല്ലാത്ത ഒന്നിനെ’ക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാനോ സംസാരിക്കാനോ കഴിയില്ലെന്ന് പാർമെനിഡിസ് വാദിച്ചിരുന്നു. ആ കാഴ്ചപ്പാടിൽ ഒന്നുമില്ലായ്മ എന്നത് യുക്തിരഹിതമാണ്. അരിസ്റ്റോട്ടിൽ പൊട്ടൻഷ്യൽ ഇൻഫിനിറ്റിയെ അനുവദിച്ചിരുന്നെങ്കിലും പൂർണ്ണമായ ഇൻഫിനിറ്റ് ഏകകങ്ങളെ എതിർത്തിരുന്നു. അഭാവം എന്നത് സാധാരണയായി സത്തയുടെയോ രൂപത്തിന്റെയോ കുറവായാണ് (Privation) അന്ന് മനസ്സിലാക്കിയിരുന്നത്.

ഈ സത്താധിഷ്ഠിതമായ അന്തരീക്ഷം പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടുത്തത്തെ നേരിട്ട് തടയുന്നില്ലെങ്കിലും ആശയപരമായ ഒരു പ്രതിരോധം സൃഷ്ടിക്കുന്നുണ്ട്. ‘ഇല്ലാത്ത ഒന്നിനെ’ പോസിറ്റീവായി ചിന്തിക്കാൻ കഴിയില്ലെങ്കിൽ, അതിനെ ഗണിതത്തിലെ ഒരു നിശ്ചിത മൂലകമായി അവതരിപ്പിക്കുന്നത് വലിയൊരു മാറ്റം ആവശ്യപ്പെടുന്നു. പിൽക്കാലത്തെ ക്രിസ്തീയ ദൈവശാസ്ത്രം തിന്മയെ നന്മയുടെ അഭാവമായി (Privatio boni) നിർവ്വചിച്ചതിലൂടെ ഈ സങ്കല്പത്തെ കൂടുതൽ ദൃഢമാക്കി. ഇവിടെയും ‘ഒന്നുമില്ലായ്മ’ സത്താപരമായി ദുർബലമായാണ് കാണപ്പെട്ടത്.

ഇതിന് വിപരീതമായി, പുരാതന ഇന്ത്യൻ ദർശനങ്ങൾ ശൂന്യതയെക്കുറിച്ച് സങ്കീർണ്ണമായ വിശകലനങ്ങൾ നടത്തിയിരുന്നു. ചില ഉപനിഷത്തുകളിൽ പരമമായ യാഥാർത്ഥ്യത്തെ ഉണ്ടെന്നോ ഇല്ലെന്നോ പറയാൻ കഴിയാത്ത തലത്തിലാണ് വിവരിച്ചിരിക്കുന്നത്. ബുദ്ധമതത്തിലെ മാധ്യമിക ദർശനങ്ങളിൽ, പ്രത്യേകിച്ച് നാഗാർജുനന്റെ കൃതികളിൽ, ശൂന്യത എന്നത് കേവലമായ അസ്തിത്വമില്ലായ്മയെയല്ല സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. അത് അന്തർലീനമായ സ്വത്വത്തിന്റെ അഭാവത്തെയാണ് കുറിക്കുന്നത്; മെറ്റാഫിസിക്കൽ വിശദീകരണങ്ങളിൽ ഇതൊരു ഘടനാപരമായ തത്വമായി വർത്തിക്കുന്നു. ശൂന്യത എന്നത് വെറുമൊരു ശൂന്യമായ ഇടമല്ല, മറിച്ച് വിശദീകരണശേഷിയുള്ള ഒരു വിഭാഗമാണ് (Category).

ഗണിതത്തിലെ പൂജ്യവും മെറ്റാഫിസിക്സിലെ ശൂന്യതയും ഒന്നാണെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല. അവ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ പാരമ്പര്യങ്ങളാണ്. എങ്കിലും ഇവിടെ പ്രസക്തമായത് ഒരു ഘടനാപരമായ നിരീക്ഷണമാണ്: പുരാതന ഇന്ത്യയുടെ വിചാരമണ്ഡലത്തിൽ ‘ശൂന്യത’ എന്നത് ആശയപരമായ ഒരു വിലക്കല്ലായിരുന്നു. അത് ചർച്ച ചെയ്യാനും വിശകലനം ചെയ്യാനും കഴിയുന്ന ഒരു ദാർശനിക വിഷയമായിരുന്നു. ഈ വ്യത്യാസം അതീവ പ്രാധാന്യമുള്ളതാണ്.

ഭാരതീയ ദർശനങ്ങളിലെ ‘ശൂന്യത’ എന്ന സങ്കല്പം കേവലം അസ്തിത്വമില്ലായ്മയല്ല, മറിച്ച് സക്രിയമായ ഒരു ഘടകമാണെന്ന വാദം ആധുനിക ചരിത്രകാരന്മാരും ദാർശനികരും ശരിവെക്കുന്നുണ്ട്. ചാൾസ് സെയ്ഫ് തന്റെ ‘സീറോ: ദി ബയോഗ്രഫി ഓഫ് എ ഡേഞ്ചറസ് ഐഡിയ’ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ, പാശ്ചാത്യ ലോകത്തെ ‘ശൂന്യതാ ഭയവും’ (Horror Vacui) ഭാരതീയ ചിന്തയിലെ ശൂന്യതയോടുള്ള സഹിഷ്ണുതയും തമ്മിലുള്ള വൈരുദ്ധ്യം കൃത്യമായി വരച്ചുകാട്ടുന്നു. ഗ്രീക്ക് ചിന്തകർ ശൂന്യതയെ ഭീതിയോടെ നോക്കിക്കണ്ടപ്പോൾ, ഉപനിഷത്തുകളിലും ബുദ്ധദർശനങ്ങളിലും നിലനിന്നിരുന്ന ശൂന്യതയുടെ ക്രിയാത്മകമായ തലം പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയായി പരിഗണിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഒരു ബൗദ്ധിക സാഹചര്യം ഒരുക്കി എന്ന് റോബർട്ട് കപ്ലാൻ, വില്യം ഡാൽറിമ്പിൾ തുടങ്ങിയവരും നിരീക്ഷിക്കുന്നു.

III. ആശയപരമായ അനുമതിയുടെ മെക്കാനിസം

പൂജ്യത്തിന്റെ ഗണിതവൽക്കരണത്തിന് അഭാവത്തെ ഒരു വ്യവസ്ഥയ്ക്കുള്ളിലെ നിശ്ചിത അവസ്ഥയായി കാണേണ്ടതുണ്ട്. നമ്മൾ 105 എന്ന് എഴുതുമ്പോൾ പൂജ്യം എന്നത് വെറുമൊരു വിടവല്ല; അത് പത്തിന്റെ സ്ഥാനത്ത് ഒന്നുമില്ലെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒന്നാണ്. $a \times 0 = 0$ എന്ന് എഴുതുമ്പോൾ പൂജ്യം ഒരു വസ്തുവായി മാറുന്നു. അതിന് ബീജഗണിതപരമായ സ്വഭാവങ്ങളുണ്ട്.

ഈ നീക്കം യുക്തിസഹമാകണമെങ്കിൽ ‘ഒന്നുമില്ലായ്മ’ എന്നത് യുക്തിചിന്തയ്ക്കുള്ളിലെ ഒരു സത്തായി പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത് ആ സംസ്കാരം അംഗീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ‘ഇല്ലാത്ത ഒന്ന്’ എന്നത് യുക്തിക്ക് നിരക്കാത്തതാണെങ്കിൽ അതിന് പ്രവർത്തനപരമായ പദവി [Operational status] നൽകുന്നത് തടസ്സങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കും. എന്നാൽ ശൂന്യതയ്ക്ക് നേരത്തെ തന്നെ ഘടനാപരമായ പ്രാധാന്യം നൽകപ്പെട്ട ഒരിടത്ത് ഈ പ്രതിരോധം കുറവായിരിക്കും.

ഇതൊരു സൂക്ഷ്മമായ മെക്കാനിസമാണ്. ഇത് നേരിട്ടുള്ള ഒരു കാര്യകാരണ ബന്ധമല്ല. ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ നാഗാർജുനനിൽ നിന്നല്ല തന്റെ ഗണിതനിയമങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയത്. എന്നാൽ ഇരുവരും വികസിച്ചത് ‘അഭാവം’ എന്നത് ദാർശനികമായി അസാധ്യമല്ലാത്ത ഒരു സാംസ്കാരിക പശ്ചാത്തലത്തിലാണ്. അഭാവത്തെ കേവലം ഇല്ലായ്മയായി കാണുന്നിടത്ത് പൂജ്യം ദീർഘകാലത്തേക്ക് ഒരു സ്ഥാനസൂചകം മാത്രമായി തുടരും. എന്നാൽ ശൂന്യതയ്ക്ക് ആശയപരമായ അർത്ഥമുള്ളയിടത്ത് സ്ഥാനസൂചകത്തിൽ നിന്നും സംഖ്യയിലേക്കുള്ള മാറ്റം സത്താപരമായ തടസ്സങ്ങളില്ലാതെ നടക്കും.

ഇന്ത്യൻ ഗണിതം ഇസ്‌ലാമിക ലോകത്തേക്കും പിന്നീട് വിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ യൂറോപ്പിലേക്കും എത്തിയപ്പോൾ ഈ വ്യത്യാസം ദൃശ്യമായി. അൽ-ഖ്വാരിസ്മിയുടെ ഗ്രന്ഥം പൂജ്യം ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഇന്ത്യൻ സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തെ അറബി പാണ്ഡിത്യത്തിലേക്ക് എത്തിച്ചു. പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഫിബൊനാച്ചി ഈ സമ്പ്രദായം ലാറ്റിൻ യൂറോപ്പിൽ അവതരിപ്പിച്ചപ്പോൾ, റോമൻ അക്കങ്ങൾ ശീലിച്ച വായനക്കാരെ ഇതിന്റെ പ്രായോഗിക ഗുണം ബോധ്യപ്പെടുത്താൻ അദ്ദേഹം ഏറെ പ്രയത്നിച്ചു. എന്നാൽ സാംസ്കാരികമായ സ്വീകാര്യത വളരെ സാവധാനത്തിലായിരുന്നു. പൂജ്യത്തിന്റെ പ്രായോഗിക ഗുണങ്ങൾ ദാർശനികമായ മടിയെ മറികടക്കുന്നത് വരെ ആ സംശയം നിലനിന്നു.

IV. പൂജ്യം ഒരു കേസ് സ്റ്റഡി എന്ന നിലയിൽ

സത്താപരമായ സ്വാധീനത്തിന്റെ വ്യത്യസ്തമായൊരു മാതൃകയാണ് പൂജ്യം വെളിപ്പെടുത്തുന്നത്. അൽജിബ്രയിൽ സത്ത ഒരു പ്രശ്നത്തെ സൃഷ്ടിച്ചു. ലൈബ്നിസിന്റെ കാര്യത്തിൽ സത്ത ഗണിതത്തെ ആകർഷിച്ചു. കാന്ററുടെ കാര്യത്തിൽ സത്ത ഒരു വിച്ഛേദത്തെ സുസ്ഥിരമാക്കി. എന്നാൽ ഇവിടെ സത്ത കൂടുതൽ ആഴത്തിലുള്ള ഒരു തലത്തിലാണ് പ്രവർത്തിക്കുന്നത്. അതൊരു അമൂർത്തീകരണത്തിന്റെ ആശയപരമായ അനുമതി നിശ്ചയിക്കുന്നു.

സ്ഥാനസൂചകത്തിൽ നിന്നും സംഖ്യയിലേക്കുള്ള മാറ്റത്തിന് സാങ്കേതിക സൗകര്യത്തേക്കാൾ ഉപരിയായി മറ്റൊന്ന് ആവശ്യമായിരുന്നു. അഭാവത്തെ ഒരു ഔദ്യോഗിക ഘടനയ്ക്കുള്ളിലെ മൂലകമായി കാണുക എന്നതായിരുന്നു അത്. ഇല്ലാത്ത ഒന്നിനെ സംശയത്തോടെ കാണുന്ന സംസ്കാരത്തേക്കാൾ ശൂന്യതയെ ദാർശനികമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്ന സംസ്കാരത്തിൽ ഈ മാറ്റം എളുപ്പമാകും. പൂജ്യം ഒരു ദൈവശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തമല്ല, അതൊരു ഗണിത വസ്തുവാണ്. എങ്കിലും അതിനെ ഒരു വസ്തുവായി അംഗീകരിക്കുന്നത് മെറ്റാഫിസിക്കൽ ആയി നിഷ്പക്ഷമായ ഒന്നല്ല. പൂജ്യത്തിന്റെ ചരിത്രം കാണിക്കുന്നത് ഗണിതത്തിലെ അമൂർത്തീകരണം സത്താപരമായ പശ്ചാത്തലത്തിൽ നിന്നും വേറിട്ടതല്ല എന്നാണ്. എന്തൊന്നിനെയാണ് ‘ഉള്ള ഒന്നായി’ ഒരു സംസ്കാരം കണക്കാക്കാൻ തയ്യാറാകുന്നത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചാണ് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഓരോ നീക്കത്തിന്റെയും സ്വീകാര്യത നിലനിൽക്കുന്നത്.